Почему комплексные числа. Исследовательская работа на тему" комплексные числа ". Возведение в степень и извлечение корня

§1. Комплексные числа

1°. Определение. Алгебраическая форма записи.

Определение 1 . Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , если для них определены понятие равенства, операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) Два числа
и
равны тогда и только тогда, когда
,
, т.е.


,
.

2) Суммой комплексных чисел
и

и равное
, т.е.

+
=
.

3) Произведением комплексных чисел
и
называется число, обозначаемое
и равное , т.е.

∙=.

Множество комплексных чисел обозначаетсяC .

Формулы (2),(3) для чисел вида
принимают вид

откуда следует, что операции сложения и умножения для чисел вида
совпадают со сложением и умножением для вещественных чисел  комплексное число вида
отождествляется с вещественным числом .

Комплексное число
называется мнимой единицей и обозначается , т.е.
Тогда из (3) 

Из (2),(3)  что и значит

Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

В алгебраической форме записи операции сложения и умножения принимают вид:

Комплексное число обозначают
, – вещественная часть, – мнимая часть, – чисто мнимое число. Обозначение:
,
.

Определение 2 . Комплексное число
называется сопряженным с комплексным числом
.

Свойства комплексного сопряжения.

2)
.

3) Если
, то
.

4)
.

5)
– вещественное число.

Доказательство проводится непосредственным вычислением.

Определение 3 . Число
называется модулем комплексного числа
и обозначается
.

Очевидно, что
, причем

. Также очевидны формулы:
и
.

2°. Свойства операций сложения и умножения.

1) Коммутативность:
,
.

2) Ассоциативность:,
.

3) Дистрибутивность: .

Доказательство 1) – 3) проводится непосредственными вычислениями на основе аналогичных свойств для вещественных чисел.

4)
,
.

5) , C ! , удовлетворяющее уравнению
. Такое

6) ,C , 0, ! :
. Такое находится умножением уравнения на

.

Пример. Представим комплексное число
в алгебраической форме. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:

3°. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Тогда
C можно поставить в соответствие точку на плоскости с координатами
.(см. рис. 1). Очевидно, что такое соответствие является взаимно однозначным. При этом действительные числа лежат на оси абсцисс, а чисто мнимые − на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью , а ось ординат − мнимой осью . Плоскость, на которой лежат комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Отметим, что и
симметричны относительно начала координат, а и симметричны относительно Ox.

Каждому комплексному числу (т.е. каждой точке на плоскости) можно поставить в соответствие вектор с началом в точке O и концом в точке
. Соответствие между векторами и комплексными числами является взаимно однозначным. Поэтому вектор, соответствующий комплексному числу , обозначается той же буквой

Длина вектора
соответствующего комплексному числу
, равна
, причем
,
.

С помощью векторной интерпретации можно видеть, что вектор
− сумма векторов и , а
− сумма векторов и
.(см. рис. 2). Поэтому справедливы неравенства: ,

Наряду с длиной вектора введем в рассмотрение угол между вектором и осью Ox, отсчитываемый от положительного направления оси Ox: если отсчет ведется против часовой стрелки, то знак величина угла рассматривается положительной, если по часовой стрелке – то отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается
. Угол определяется не однозначно, а с точностью
… . Для
аргумент не определяется.

Формулы (6) задают так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Из (5) следует, что если
и
то

,
.

Из (5)
что по и комплексное число определяется однозначно. Обратное неверно: а именно, по комплексному числу его модуль находится однозначно, а аргумент, в силу (7), − с точностью
. Также из (7) следует, что аргумент может быть найден как решение уравнения

Однако не все решения этого уравнения являются решениями (7).

Среди всех значений аргумента комплексного числа выбирается одно, которое называется главным значением аргумента и обозначается
. Обычно главное значение аргумента выбирается либо в интервале
, либо в интервале

В тригонометрической форме удобно производить операции умножения и деления.

Теорема 1. Модуль произведения комплексных чисел и равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов, т.е.

, а .

Аналогично

Доказательство. Пусть , . Тогда непосредственным умножением получаем:

Аналогично

.■

Следствие (формула Муавра). Для
справедлива формула Муавра

Пример. Пусть Найдем геометрическое местоположение точки
. Из теоремы 1 следует, что .

Поэтому для ее построение необходимо вначале построить точку , являющуюся инверсией относительно единичной окружности, а затем найти точку, симметричную ей относительно оси Ox.

Пусть
, т.е.
Комплексное число
обозначается
, т.е. R справедлива формула Эйлера

Так как
, то
,
. Из теоремы 1
что с функцией
можно работать как с обычной показательной функцией, т.е. справедливы равенства

,
,
.

Из (8)
показательная форма записи комплексного числа

, где
,

Пример. .

4°. Корни -ой степени из комплексного числа.

Рассмотрим уравнение

,
С ,
N .

Пусть
, а решение уравнения (9) ищется в виде
. Тогда (9) принимает вид
, откуда находим, что
,
, т.е.

,
,
.

Таким образом, уравнение (9) имеет корни

,
.

Покажем, что среди (10) имеется ровно различных корней. Действительно,

различны, т.к. их аргументы различны и отличаются меньше, чем на
. Далее,
, т.к.
. Аналогично
.

Таким образом, уравнение (9) при
имеет ровно корней
, расположенных в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в т. O.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Извлечение корня -ой степени из комплексного числа
всегда возможно. Все значения корня -ой степени из расположены в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса
. При этом,

Следствие. Корни –ой степени из 1 выражаются формулой

Произведение двух корней из 1 является корнем, 1 – корень -ой степени из единицы, корня
:
.

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F n = + 1 · Приn = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F 5 будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексными. Точки, изображающие корни n-й степени из единицы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем понятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x + i y и w = u + i v, где x, y, u, v – действительные переменные, i = - мнимая единица. Зафиксируем две комплексные плоскостиOxy (плоскость z), O"uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D" соответственно (рис. 4).

D "

Если каждой точке zD по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка wD", то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют областью определения функции w = f(z), значения которой принадлежат области D". Если множество значений f(z) исчерпывает все множество D", то D" называют множеством значений (областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D"= f(D). Множества D и D" можно изображать на одной комплексной плоскости. Каждое из множеств D и D" может совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, поскольку с их помощью удобно описывать движение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной переменной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

f(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n -1 x + a n . (36)

Корнем многочлена называют такое число с (в общем случае комплексное: с = a + bi ), которое обращает данный многочлен в нуль:

a 0 c n + a 1 c n-1 + … + a n-1 c + a n ≡ 0.

Другими словами, теорема утверждает, что алгебраическое уравнение n-й степени (n ≥ 1)

a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n -1 x + a n = 0 37)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Действительно, если многочлен f(х) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n -1 x + a n , имеет корень α 1 , то его можно представить в виде f(х) = (х – α 1)φ 1 (x), где φ 1 (x) – многочлен степени n – 1. Этот многочлен по данной теореме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена φ 1 (x) через α 2 , тогда φ 1 (x) = (х – α 2)φ 2 (x), где φ 2 (x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a 0 (x – a 1)(x – a 2)...(x – a n). Отсюда видно, что f(α i) = 0 при i – 1, 2, ... , n, т. е. α i - корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравнение (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi – корень уравнения, то с = а-bi – также корень данного уравнения. Иными словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание . Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, трансцендентное (неалгебраическое) уравнение а x = 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного переноса) на вектор с , т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подходящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положительном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i ; точка w"= z + (-3i ) = z – 3i будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с .

w = z + c

w = z + 2

w" = z – 3 i

Геометрическое преобразование, при котором величины углов между любыми двумя линиями, содержащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием или конформным отображением . (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, понимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформных отображений могут служить сдвиг (параллельный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точках пространства, окружающего заряженный конденсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруднений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров). Однако расчеты необходимо уметь производить и во многих других случаях. Например, чтобы сконструировать самолет, надо уметь вычислять скорости частиц в потоке, обтекающем крыло самолета. Разумеется, при полете самолета движутся и частицы воздуха, и само крыло. Однако, опираясь на законы механики, исследование можно свести к случаю, когда крыло неподвижно, а на него набегает и обтекает его поток воздуха. Крыло самолета в поперечном разрезе, (профиль крыла) имеет вид, показанный на рисунке 7. Расчет скоростей производится достаточно просто, когда поперечный разрез обтекаемого тела есть круг (т. е. само тело является круглым цилиндром). Чтобы свести задачу о скоростях частиц потока воздуха, обтекающего крыло самолета, к более простой задаче обтекания круглого цилиндра, достаточно конформно отобразить часть плоскости, заштрихованную на рисунке 7, а (вне крыла), на другую фигуру, заштрихованную на рисунке 7, б (вне круга). Такое отображение осуществляется с помощью некоторой функции комплексной переменной. Знание этой функции позволяет перейти от скоростей в потоке, обтекающем круглый цилиндр, к скоростям в потоке, обтекающем крыло самолета, и тем самым полностью решить поставленную задачу.

Конформное отображение, заданное соответствующей функцией комплексной переменной, аналогичным образом позволяет сводить решение задач о расчете электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы (любого профиля сечения) к простейшим случаям, для которых задачи решается легко.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач. Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих выступлений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума». (Жуковский H.E. Собрание сочинений. – М. – Л.: Гостехиздат, 1950. –T. 7. – С. 16.) С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Список використаної літератури:

“Алгебра” С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968

“Кольца и модули” Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971

“Кольца(Элементы теории)”, Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973

“Алгебра: кольца, модулы и категории” Фейс К., Издательство МИР, 1977

“Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности” Издательство ЛГУ, 1986

“Теория колец”, Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

Научно-практическая конференция

« Первые шаги в науку»

Секция « Математика»

Выполнил: ученик 9 класса МБОУ

« Мордовско-Паевская СОШ»

Ерочкин Иван

Руководитель: учитель математики

Кадышкина Н.В.

г. Инсар 2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………

История открытия комплексных чисел ………………………… 4

2.1. Высказывания великих учёных о комплексных числах…. 4

2.2 О появлении комплексных чисел……………………………4

Основная часть

Определение комплексных чисел…………………………………. 8

2.1. Алгебраическая форма комплексного числа………………8

2.2. Действия над комплексными числами…………………… 9

3. Решение уравнений с комплексной переменной………………… 12

4. Понятие о комплексной плоскости……………………………….. 14

5. Геометрическая форма комплексного числа…………………….. 15

6. Тригонометрическая форма числа……………………………….. 17

7. Возведение в степень комплексного числа………………………. 19

Показательная форма числа……………………………………… 20

Где применяются комплексные числа?.......................................... 21

Заключение. Выводы……………………………………………… 23

Список литературы…………………………………………………… 24

Тест по теме « Комплексные числа»………………………………. 25

Введение В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Они меня завораживают из года в год всё больше и больше. В прошлом году я провёл исследование про загадочное число пи. В этом заинтересовали комплексные числа. Впервые услышал про них в 8 классе, решая квадратные уравнения. В 9 классе, у меня возникли серьезные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратно уравнение корней не имеет, ведь при нахождении корней квадратного уравнения мне необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх корней имеет только один корень. Вот так я получил противоречие. И решил разобраться в нём. Такая операция невозможна на множестве действительных чисел, но не невозможна вообще. Оказалось, что корни решаемого мною уравнения принадлежат множеству комплексных чисел, которое содержит число, квадрат которого равен -1. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах.

Цель работы: Изучить комплексные числа как раздел математики и их роль во многих разделах математики.

Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;

2. Систематизировать сведения о числах;

3. Расширить числовые множества от натуральных до комплексных, как способ

построения нового математического аппарата.

4. Совершенствовать технику алгебраических преобразований.

5. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике, в повышении интереса в изучении комплексных чисел учащимися 9-х классов, в развитии их творческих и исследовательских способностей.

Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.

Рабочая гипотеза: предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Предмет исследования: комплексные числа.

Объект исследования : формы задания комплексного числа и действия над ними.

Методы исследования:

1. Изучение и анализ литературных источников.

2. Решение практических задач

3. Разработать тест.

4. Опрос.

5. Анализ проделанной работы.

Актуальность темы.

Я считаю, что моя тема актуальна , так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для нас, учащихся. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.

Основная часть.

История открытия комплексных чисел

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа. почти что амфибия с небытиём. Г. Лейбниц

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Л. Карно

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие учёные считали « настоящими» только натуральные числа, но в практических расчётах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н. э. уже умел производить действия над отрица тельными числами.

В математике они называются множеством действительных чисел.

Все действительные числа расположены на числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицатель ными эта операция невозможна. Но в XVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись проблемой: в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

У равнение должно име ть три корня . При его решении часто под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 ±
, у = 5 ±
, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что
∙
= - a . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» в 1637 году было введено

французским математиком и философом Р. Декартом.

А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века - Л. Эйлер - предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мни мый) для обозначения числа i =
.

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “ комплексные числа ” также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. , о бразующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII – XVIII веков была построена общая теория корней n -й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII – начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a , b ) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

Определение комплексных чисел

3.1 Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение z = a + b ·i , где a и b – действительные числа, i 2 = -1,

a = Re z – действительная часть z (вещественная) (Re , от фр. r é ele – «реальный», «действительный»);

b = Im z мнимая часть z (Im , от фр. imaginaire – «мнимый») .

b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Если a 0, в0, то число z – мнимое (z = 37 - 6·i ).

Е сли а = 0 , в0, то число z –чисто мнимое число ( z = 22· i) .

Если a 0, в =0, z – действительное число ( z = -5).

Степени числа i:

I 1 = i
i 4n+1 = i;

i 2 = - 1
i 4n+2 = - 1;

i 3 = i 2 · i
i 4n+3 = - i

i 4 = (i 2 ) 2 = 1
i 4 n = 1.

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i 2 = –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1 , Z 1 ·Z 2 =Z 2 ·Z 1

Сочетательное свойство:

(Z 1 +Z 2)+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3), (Z 1 ·Z 2)·Z 3 =Z 1 ·(Z 2 ·Z 3)

Распределительное свойство:

Z 1 ·(Z 2 +Z 3)=Z 1 ·Z 2 +Z 1 ·Z 3

сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + (- z ) = 0)

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

3.2 Действия над комплексными числами .

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i 2 = -1.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 – b 2 ·i равна:
z 1 + z 2 = (а 1 + а 2 ) +(b 1 + b 2 ) · i

Пример 1

Сложить два комплексных числа z 1 = 1 +3 i , z 2 =4-5 i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

z 1 +z 2 =1 +3i +4 -5i =5 -2i

Разность комплексных z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 – b 2 ·i чисел рав на:

z 1 - z 2 = (а 1 - а 2) +(b 1 - b 2) · i

Пример 2

Найти разности комплексных чисел z 1 = -2 + i и z 2 = 4 i -2

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z 1 – z 2 = (-2 + i ) – (4i – 2) = -2 +I – 4i +2 = - 3i

Умножение комплексных чисел

Произведение комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 – b 2 ·i равно:

z 1 · z 2 = (а 1 · а 2 - b 1 · b 2 ) +( а 2 · b 1 + b 2 ·а 1 ) · i

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел

z 1 =1 – i , z 2 =3 +6i

z 1 ·z 2 =(1 -i)(3 +6i)=1·3 –i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

Деление комплексных чисел

Частное комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 · i и z 2 = a 2 – b 2 · i равно:

Пример 4. Пусть z 1 =13 + i , z 2 = 7 – 6 i

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .

При извлечении квадратных корней из отрицательных чисел получаются два сопряженных комплексных корня.

Например, , , , ,

Решение уравнений с комплексной переменной

Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z 2 = a , где a – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если a = 0;

2) имеет два действительных корня z 1,2 = ±
, если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a < 0;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Вообще уравнение z 2 = a , где a < 0 имеет два комплексных корня: z 1,2 =±
i .

Используя равенство i 2 = –1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так:
= i ,
= i
= 2 i ,
= i
.

Итак,
определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az 2 + bz + c = 0, где a , b , с – действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

z 1, 2 =
.

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики – формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x 3 + px + q = 0:

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Дискриминант:

Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

Получаются два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровно корней, часть из которых может быть комплексными.

Понятие о комплексной плоскости.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа Буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси О Y – чисто мнимые:

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отметить: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу по мнимой оси.

Пример 6. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

6. Геометрическая форма комплексного числа.

Слово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Несмотря на то, что оперировать с комплексными числами ничуть не сложнее, чем с действительными, до начала девятнадцатого столетия комплексные числа рассматривались как очень сложный, темный, почти мистический объект. С упорством, достойным лучшего применения, велась длительная борьба между сторонниками и противниками «мнимых» чисел. Главное возражение противников заключалось в следующем: выражение вида a + ib лишено смысла, поскольку i не является действительным числом, а значит, и вообще не является числом; поэтому i нельзя умножать на действительное число.

Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего – геометрическая. Желание иметь геометрическую реализацию множества комплексных чисел не случайно, если вспомнить, что и множество действительных чисел не отделимо для нас от «действительной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и с фиксирующим масштабом, определяемым положением числа 1.

Впервые изображение геометрических действий над комплексными числами было дано датским геодезистом К.Весселем в 1799 году и независимо от него французским математиком Ж.Арганом в 1806 году. Однако общее признание оно получило лишь в тридцатые года восемнадцатого столетия после работ немецкого математика Ф.Гаусса и английского математика У.Гамильтона. Идея геометрической интерпретации комплексных чисел заключается в том, что они изображаются не точками прямой, как действительные числа, а точками плоскости.

Комплексное число z = a + b ·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а; Ь). Эта

точка обозначается той же буквой z . Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто - мнимые – точками оси ординат.

Комплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке М.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма

Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:

7.Тригонометрическая форма комплексного числа.

Произвольное комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора
на комплексной плоскости. Пусть N – проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b , а длина гипотенузы OM равна
. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | ∙ cos φ ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ ,

где φ –
- главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z , - < φ < (угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке ). Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример 7: Решение:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме , совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Теорема 3. Пусть z – комплексное, и n – натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение
при z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при z 0 – n различных значений. Если z = r (cos + i sin), то эти значения находятся по формуле

=
(cos
+ i sin
), =0,1,…, n -1.

Пример 8. Найти произведение: ,

8. Возведение комплексных чисел в степень

Возвести в квадрат комплексное число

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такое действие практически невозможно, действительно, как решить пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра .

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

где n – целое положительное число.

Пример 7. Дано комплексное число , найти .

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

Тогда, по формуле Муавра:

9. Показательная форма комплексного числа

=8 + 6·i

10. Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных 5-угольника и 15-угольника. Несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный 9-гольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N–угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F n = + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F 5 будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял

теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих выступлений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Комплексные числа нужны для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

11. Заключение

В общем, я считаю, что цель и задачи ей работы выполнены. Я сам освоил тему. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые факты по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

К достоинствам моей работы можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

Я считаю моя работа полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы.

В ходе исследования я провёл несколько занятий в своём классе. Но так как в нашем классе кроме меня всего 2 ученика, проследить повышение качества знаний не удалось, так как они занимаются хорошо. Но я рад, что все пожелали продолжение изучения данной темы в 10 классе.

Мои Выводы:

1. Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.

2. Оценено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.

3. Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди учащихся 9- х классов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности.

12. Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.

3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.

Тест по теме « Комплексные числа»

Сколько форм записи имеет комплексное число?

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4

Что представляет собой число i ?

а)число, квадрат которого равен 1

б) число, квадрат которого равен – 1

в) число, квадратный корень из которого равен – 1

г) число, квадратный корень из которого равен 1

Формулу Муавра можно применять, если комплексное число записано:

Формулу можно Эйлера применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме б) наглядной форме

в) тригонометрической форме г) алгебраической форме

Как на числовой плоскости изображается комплексное число?

а)в виде отрезка б) точкой или радиус-вектором

в)плоской геометрической фигурой в) в виде круга

Выбрать из данных чисел чисто мнимое:

а) z =3 +6 i б) z 2 =6 i в) z 2 =31 г) z 2 =0

Вычислить сумму чисел z 1 =7 +2i и z 2 =3 +7 i

а) z =10 +9i б) z =4-5i в) z =10 -5i г)z =4 +5i

8. Представить комплексное число z =3 +4i в тригонометрической форме

а) это радиус-вектор б) z =5(0,6 +0,8i )

в) z =3 -4i г) это точка на координатной плоскости

9. В какое множество входят числа 5; 3; -6i ;2,7; 2 i ?

а) действительные числа б) рациональные числа

в) комплексные числа г) иррациональные числа

10. Кто ввёл название « мнимые числа»?

а) Декарт б) Арган

в) Эйлер г) Кардано

Если вам нужно назвать расстояние между двумя городами, то можно дать ответ, состоящий из одного числа в милях, километрах или в других единицах измерения линейных расстояний. Однако если вы должны описать, как добраться из одного города в другой, то необходимо дать больше информации, чем просто расстояние между двумя точками на карте. В этом случае стоит сказать о направлении, в котором надо двигаться и о .

Вид информации, которая выражает одномерное измерение, в науке называется скалярной величиной. Скаляры – это числа, используемые в большинстве математических расчетов. К примеру, масса и скорость, которыми обладает тот или иной объект являются скалярными величинами.

Для того чтобы успешно анализировать природные явления, мы должны работать с абстрактными объектами и методами, способными представлять многомерные величины. Здесь необходимо отказываться от скалярных чисел в пользу комплексных. Они дают возможность выразить два измерения одновременно.

Комплексные числа легче понять, когда они представлены в графическом виде. Если линию, имеющую определенную длину и направление, то это и будет графическое представление . Оно также широко известно как вектор.

Различия между комплексными и скалярными величинами

Такие типы чисел, как целые, рациональные, и реальные знакомы детям со школы. Им всем присуща одномерность. Прямолинейность числовой прямой иллюстрирует это графически. Вы можете перемещаться вверх или вниз по ней, но все «движения» по этой линии будут ограничиваются горизонтальной осью. Одномерных, скалярных цифр вполне достаточно для подсчета количества предметов, выражения веса или измерения постоянного напряжения батареи. Но они не могут обозначать что-то более сложное. Скалярами невозможно одновременно выразить расстояние и направление между двумя городами, или амплитуду с фазой. Представлять эти виды чисел необходимо уже в виде многомерной области значений. Другими словами, нам нужны векторные величины, которые могут иметь не только величину, но и направление распространения.

Заключение

Скалярное число является типом математического объекта, который люди привыкли использовать в повседневной жизни - это температура, длина, вес и т.д. Комплексное число представляет собой значение, которое включает в себя два типа данных.

Вектор является графическим изображением комплексного числа. Он выглядит, как стрелка с начальной точкой, определенной длиной и направлением. Иногда слово «вектор» используется в радиотехнике, где он выражает фазовый сдвиг между сигналами.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A· X+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X 2 =2, X 3 =5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X 2 +1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X 2 +1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2 = –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B· i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+B· i .

Комплексными числами называют выражения вида A+B· i , где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i 2 = –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+B· i , а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2+3· i равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+B· i и C+D· i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B· i изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+B· i как вектора, т.е. вектора с началом в точке

O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).

Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.

3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Пусть дано комплексное число Z=A+B· i . Сопряженным с Z называется комплексное число A – B· i , которое обозначается , т.е.

A – B· i .

Отметим, что = A+B· i , поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z.

Модулем комплексного числа Z=A+B· i называется число и обозначается , т.е.

Из формулы (1) следует, что для любого комплексного числа Z, причем =0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Суммой двух комплексных чисел A+B· i и C+D· i называется комплексное число (A+C) + (B+D)· i , т.е.(A+B· i ) + (C+D· i )=(A+C) + (B+D)· i

Произведением двух комплексных чисел A+B· i и C+D· i называется комплексное число (A· C – B· D)+(A· D+B· C) · i , т.е.

(A + B· i )· (C + D· i )=(A· C – B· D) + (A· D + B· C)· i

Переместительное свойство:

Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1 , Z 1· Z 2 =Z 2· Z 1

Сочетательное свойство:

(Z 1 +Z 2)+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3), (Z 1· Z 2)· Z 3 =Z 1· (Z 2· Z 3)

Распределительное свойство:

Z 1· (Z 2 +Z 3)=Z 1· Z 2 +Z 1· Z 3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A 1 ;B 1) и (A 2 ;B 2) есть вектор с координатами (A 1 +A 2 ;B 1 +B 2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z 1 и Z 2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z 1 и Z 2 .

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z 1 =2 – 3× i и

Z 2 = –7 + 8× i .

Z 1 + Z 2 = 2 – 7 + (–3 + 8)× i = – 5 + 5× i

Z 1× Z 2 = (2 – 3× i )× (–7 + 8× i ) = –14 + 16× i + 21× i + 24 = 10 + 37× i

5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чиселZ 1 и Z 2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z 2) противоположное числу Z 2:

Z+Z 2 +(–Z 2)=Z 1 +(–Z 2), откуда

Число Z=Z 1 +Z 2 называют разностью чисел Z 1 и Z 2 .

Деление вводится как операция, обратная умножению:

Z× Z 2 =Z 1

Разделив обе части на Z 2 получим:

Из этого уравнения видно, что Z 2 0

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Разности Z 2 – Z 1 комплексных чисел Z 1 и Z 2 , соответствует разность векторов, соответствующих числам Z 1 и Z 2 . Модуль разности двух комплексных чиселZ 2 и Z 1 по определению модуля есть длина вектора Z 2 – Z 1 . Построим этот вектор, как сумму векторов Z 2 и (–Z 1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z 1 = 4 + 5· i и Z 2 = 3 + 4· i . Найти разность Z 2 – Z 1 и частное

Z 2 – Z 1 = (3 + 4· i ) – (4 + 5· i ) = –1 – i

6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Запись комплексного числа Z в виде A+B· i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B· i выражаются через его модуль = rи аргумент j следующим образом:

A= r· cosj ; B= r· sinj .

Число Z можно записать так:

Z= r· cosj + i· · sinj = r· (cosj + i· sinj )

Z = r· (cosj + i· sinj ) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа .

r =– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше = r =, равенство (2) можно записать в виде

A+B· i =· cosj + i· · sinj , откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cosj =, sinj = (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj = (4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j , чем формулы (3). Однако не все значения j , удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B· i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B· i .

7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z 1 = r 1· (cosj 1 + i· sinj 1), Z 2 = r 2· (cosj 2 + i· sinj 2). Тогда:

Z 1 Z 2 = r 1· r 2 =

= r 1· r 2 .

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z 1 Z 2 = r 1· r 2 (5)

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z 1 =Z 2 то получим:

Z 2 = 2 = r 2· (cos2j + i· sin2j )

Z 3 =Z 2· Z= r 2· (cos2j + i· sin2j )· r· (cosj + i· sinj )=

= r 3· (cos3j + i· sin3j )

Вообще для любого комплексного числа Z = r· (cosj + i· sinj )0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Z n =[ r· (cosj + i· sinj )] n = r n· (cosnj + i· sinnj ), (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[ cos(j 1 – j 2) + i· sin(j 1 – j 2)]. (7)

= = cos(–j 2) + i· sin(–j 2)

Используя формулу 5

(cosj 1 + i· sinj 1)× (cos(–j 2) + i· sin(–j 2)) =

cos(j 1 – j 2) + i· sin(j 1 – j 2).

Пример 3:

Число –8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8· (cos(p + 2p k ) + i ·sin(p + 2p k )), k Î Z

Пусть Z = r× (cosj + i×

r 3× (cos3j + i× sin3j ) = 8· (cos(p + 2p k ) + i ·sin(p + 2p k )), k Î Z

Тогда 3j =p + 2p k , k Î Z

j = , k Î Z

Следовательно:

Z = 2· (cos() + i ·sin()), k Î Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z 1 = 2· (cos + i ·sin) = 2· (i ) = 1+× i

k = 1

Z 2 = 2· (cos( + ) + i ·sin( + )) = 2· (cosp + i ·sinp ) = –2

k = 2

Z 3 = 2· (cos( + ) + i ·sin( + )) = 2· (cos + i ·sin) = 1–× i

Ответ: Z 13 = ; Z 2 = –2

Пример 4:

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1· (cos(2p k ) + i ·sin(2p k )), k Î Z

Пусть Z = r× (cosj + i× sinj ), тогда данное уравнение запишется в виде:

r 4× (cos4j + i× sin4j ) = cos(2p k ) + i ·sin(2p k )), k Î Z

4j = 2p k , k Î Z

j = , k Î Z

Z = cos+ i× sin

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z 1 = cos0+ i× sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z 2 = cos+ i× sin = 0 + i = i

k = 2

Z 3 = cosp + i ·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z 4 = cos+ i× sin

Ответ: Z 13 = 1

Z 24 = i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r· (cosj + i· sinj ) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r· (cosj + i· sinj )] n = r n· (cos nj + i· sin nj )

Число Z называется корнем степени n из числа w (обозначается ), если Z n =w .

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Z n = w является корнем степени n из числа w . Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w , достаточно решить уравнение Z n = w . Если w =0, то при любом n уравнение Z n = w имеет только одно решение Z = 0. Если w 0, то и Z 0 , а, следовательно, и Zи w можно представить в тригонометрической форме

Z = r· (cosj + i· sinj ), w = p· (cosy + i· siny )

Уравнение Z n = w примет вид:

r n· (cos nj + i· sin nj ) = p· (cosy + i· siny )

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p . Следовательно, r n = p и nj = y + 2p k, гдеkÎ Z или r = и j = , где kÎ Z .

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

Z K =, kÎ Z (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра .

Таким образом, если w 0, то существует ровно n корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле 8. Все корни степениn из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w , соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n– угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i , или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

a n× Z n + a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0 (9)

Где a n ,..., a 0 – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

Где Z 1 , Z 2 ,..., Z K – некоторые различные комплексные числа,

а a 1 ,a 2 ,...,a k – натуральные числа, причем:

a 1 + a 2 + ... + a k = n

Отсюда следует, что числа Z 1 , Z 2 ,..., Z K являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z 1 является корнем кратности a 1 , Z 2 – корнем кратности a 2 и так далее.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

a n× Z n + a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

a n× k n + a n–1× k n–1 +...+ a 1× k 1 + a 0 = 0

a 0 = – k(a n× k n–1 + a n–1× k n–2 +...+ a 1)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a 0 .

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z 2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

Запишем число a в виде a = (– 1)× (– a) = i 2× = i 2× () 2 . Тогда уравнение Z 2 = a запишется в виде:Z 2 – i 2× () 2 = 0

т.е. (Z – i× )(Z + i× ) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z 1,2 = i×

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a× Z 2 + b× Z + c = 0

По известной общей формуле

Z 1,2 = (10)

Итак, при любых действительных a(a0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b 2 – 4× a× c

положителен, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z 1 ,Z 2 – корни квадратного уравнения a× Z 2 + b× Z + c = 0, a0. Тогда справедливы свойства:

Z 1× Z 2 =

При всех комплексных Z справедлива формула

a× Z 2 + b× Z + c = a× (Z – Z 1)× (Z – Z 2)

Пример 5:

Z 2 – 6·Z + 10 = 0

Д = b 2 – 4·a·c

Д = 6 2 – 4·10 = – 4

– 4 = i 2 ·4

Z 1,2 =

Ответ: Z 1 = Z 2 = 3 + i

Пример 6:

3·Z 2 +2·Z + 1 = 0

Д = b 2 – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i 2

Z 1,2 = =

Ответ: Z 1 = Z 2 = –

Пример 7:

Z 4 – 8·Z 2 – 9 = 0

t 2 – 8·t – 9 = 0

Д = b 2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t 1 = 9 t 2 = – 1

Z 2 = 9 Z 2 = – 1

Z 3,4 =i

Ответ: Z 1,2 =3, Z 3,4 =i

Пример 8:

Z 4 + 2·Z 2 – 15 = 0

t 2 + 2·t – 15 = 0

Д = b 2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t 1,2 = = = –14

t 1 = – 5 t 2 = 3

Z 2 = – 5 Z 2 = 3

Z 2 = – 1·5 Z 3,4 =

Z 2 = i 2 ·5

Z 1,2 =i

Ответ: Z 1,2 =i , Z 3,4 =

Пример 9:

Z 2 = 24 10· i

Пусть Z = X + Y· i

(X + Y· i ) 2 = X 2 + 2· X· Y· i  Y 2

X 2 + 2· X· Y· i  Y 2 = 24 10· i

(X 2 Y 2) + 2· X· Y· i = 24 10· i

умножим на X 2 0

X 4 – 24· X 2 – 25 = 0

t 2 – 24· t – 25 = 0

t 1· t 2 = – 25

t 1 = 25 t 2 = – 1

X 2 = 25 X 2 = – 1 - нет решений

X 1 = 5 X 2 = – 5

Y 1 = – Y 2 =

Y 1 = – 1 Y 2 = 1

Z 1,2 =(5 – i )

Ответ: Z 1,2 =(5 – i )

ЗАДАЧИ:

(2 – Y) 2 + 3·(2 – Y)·Y + Y 2 = 6

4 – 4·Y + Y 2 + 6·Y – 3·Y 2 + Y 2 = 6

–Y 2 + 2Y – 2 = 0 / –1

Y 2 – 2Y + 2 = 0

Д = b 2 – 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· i 2

Y 1,2 = = = 1 i

Y 1 = 1– i Y 2 = 1 + i

X 1 = 1 + i X 2 = 1– i

Ответ: {1 + i ; 1– i }

{1– i ; 1 + i }

Возведем в квадрат