Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?
Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.
Признак делимости чисел на 2
На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.
Признак делимости чисел на 3
На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Признак делимости чисел на 4
На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Признак делимости чисел на 5
Признак делимости чисел на 6
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Признак делимости чисел на 9
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Признак делимости чисел на 10
Признак делимости чисел на 11
На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Признак делимости чисел на 25
На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Признак делимости чисел на разрядную единицу
На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.
Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000 , 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000 , 100 , 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.
Формулировка признака делимости на 10 , 100 и т.д. с примерами
Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:
Определение 1
Если число заканчивается на 0 , то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.
Теперь запишем признак делимости на 100:
Определение 2
На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.
Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.
Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0 , поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.
Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.
Пример 1
Условие: определите, какие числа из ряда 500 , − 1 010 , − 50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 можно разделить на 10 , 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100 .
Решение
Согласно признаку делимости на 10 , мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с − 1 010 , 440 000 300 000 , 500 , ведь они все заканчиваются нулями. А вот для − 50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3 .
На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000 , поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце (4) . Зная признак делимости на 100 , можно сказать, что − 1 010 , − 50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.
Ответ: на 10 можно разделить числа 500 , − 1 010 , 440 000 300 000 ; на 10 000 – число 440 000 300 000 ; на 100 не делятся числа 1 010 , − 50 012 и 67 893 .
Как доказать признаки делимости на 10 , 100 , 1000 и др.
Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100 , 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.
Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10 . Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.
Определение 3
Чтобы определить, делится ли целое число на 10 , нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0 , то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.
Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10 . Докажем, что в конце у него стоит 0 .
Поскольку a можно разделить на 10 , то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q , при котором будет верным равенство a = 10 · q . Вспомним правило умножения на 10: произведение 10 · q должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a = 10 · q последним будет стоять 0 . Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.
Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10 . Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10 , его можно представить в виде a = a 1 · 10 . Здесь число a 1 получается из a , в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a = a 1 · 10 будет следовать делимость a на 10 . Таким образом мы доказали достаточность условия.
Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100 , 1000 и т.д.
Прочие случаи делимости на 1000 , 100 , 10 и др.
В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10 . Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.
Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.
Пример 2
Условие: определите, можно ли разделить 11 n + 20 n - 21 на 10 при любом натуральном значении n .
Решение
Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.
11 n + 20 n - 21 = (10 + 1) n + 20 n - 21 = = C n 0 · 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 · 10 n - 2 + C n n - 1 · 10 · 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 20 n - 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 · n · 10 + 1 + + 20 n - 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 + 30 n - 20 = = 10 · 10 n - 1 + C n 1 · 10 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 10 1 + 3 n - 2
Мы получили выражение, которое можно разделить на 10 ,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n . Значит, исходное выражение 11 n + 20 n - 21 можно разделить на десять при любом натуральном n .
Ответ: данное выражение делится на 10 .
Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.
Пример 3
Условие: выясните, будет ли 11 n + 20 n - 21 делится на 10 при любом натуральном n .
Решение
Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11 n + 20 n - 21 = 11 1 + 20 · 1 - 21 = 10 . Деление десяти на десять возможно.
Допустим, что выражение 11 n + 20 n - 21 будет делиться на 10 при n = k , то есть 11 k + 20 k - 21 можно разделить на 10 .
Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11 n + 20 n - 21 делится на 10 при n = k + 1 . Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:
11 k + 1 + 20 · k + 1 - 21 = 11 · 11 k + 20 k - 1 = 11 · 11 k + 20 k - 21 - 200 k + 230 = = 11 · 11 k + 20 k - 21 - 10 · 20 k - 23
Выражение 11 · 11 k + 20 k - 21 в данной разности можно разделить на 10 , поскольку такое деление возможно и для 11 k + 20 k - 21 , а 10 · 20 k - 23 тоже делится на 10 , потому что это выражение содержит множитель 10 . Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11 n + 20 n - 21 делится на 10 при любом натуральном значении n.
Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n , допускается следующий подход: доказываем, что при n = 10 · m , n = 10 · m + 1 , … , n = 10 · m + 9 , где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10 . Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n . Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этой статье изучим признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее. Сначала дадим их формулировки и приведем примеры применения указанных признаков делимости. После этого докажем признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … В заключение рассмотрим примеры доказательства делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. с использованием формулы бинома Ньютона и метода математической индукции.
Навигация по странице.
Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д., примеры
Сформулируем сначала признак делимости на 10 : если последняя цифра в записи целого числа есть 0 , то такое число делится на 10 ; если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , то такое число не делится на 10 .
Формулировка признака делимости на 100 такова: если две последние цифры в записи целого числа являются нулями, то такое число делится на 100 ; если же хотя бы одна из двух последних цифр числа отлична от цифры 0 , то такое число на 100 на делится.
Аналогично формулируются признаки делимости на 1 000 , 10 000 и так далее, в них лишь речь идет о последних трех, четырех и так далее нулях в записи целого числа.
Отдельно нужно сказать, что приведенные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. не распространяются лишь на число нуль. Мы знаем, что нуль делится на любое целое число. В частности, нуль делится и на 10 , и на 100 , и на 1 000 , и т.д.
Озвученные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … очень легко и удобно применять на практике, для этого нужно исследовать нужное количество последних цифр в записи числа. Рассмотрим примеры применения признаков делимости на 10, 100, 1 000 , …
Пример.
Какие из целых чисел 500 , −1 010 , −50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 делятся на 10 ? Какие из этих чисел делятся на 10 000 ? А какие числа не делятся на 100 ?
Решение.
Признак делимости на 10 позволяет нам утверждать, что числа 500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 , так как в их записи последней цифрой является 0 , а числа −50 012 и 67 893 на 10 не делятся, так как их записи оканчиваются цифрами 2 и 3 соответственно.
На 10 000 делится лишь число 440 000 300 000 , так как только в его записи справа находится четыре цифры 0 .
Основываясь на признаке делимости на 100 , мы можем сказать, что на 100 не делятся числа −1 010 , −50 012 и 67 893 , так как в их записях две последние цифры не являются цифрами 0 .
Ответ:
500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 ; 440 000 300 000 делится на 10 000 ; 1 010 , −50 012 и 67 893 не делятся на 100 .
Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.
Покажем доказательство признака делимости на 10 . Для удобства переформулируем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 10 .
Теорема.
Для делимости целого числа на 10 необходимо и достаточно, чтобы в его записи последней цифрой была цифра 0 .
Доказательство.
Сначала докажем необходимость. Пусть целое число a делится на 10 , докажем, что в этом случае в записи числа a последней цифрой является цифра 0 .
Так как a делится на 10 , то по понятию делимости существует такое целое число q , что a=10·q . Из правила умножения на 10 следует, что произведение 10·q равно целому числу, запись которого получается из записи числа q , если в ней справа дописать цифру 0 . Таким образом, последней цифрой в записи числа a=10·q является цифра 0 . Так доказана необходимость.
Переходим к доказательству достаточности. Пусть в записи целого числа a последней цифрой является 0 , докажем, что число a в этом случае делится на 10 .
Если в записи целого числа последней цифрой является 0 , то такое число в силу правила умножения на 10 можно представить как a=a 1 ·10 , где запись числа a 1 получается из записи числа a , если в ней убрать последнюю цифру. По понятию делимости из равенства a=a 1 ·10 следует делимость числа a на 10 . Достаточность доказана.
По аналогии доказываются и признаки делимости на 100 , 1 000 и так далее.
Другие случаи делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.
В этом пункте мы хотим показать, какие еще бывают способы доказательства делимости на 10 . Например, если число задано в виде значения какого-нибудь при некотором значении переменной, то применять признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 часто оказывается невозможно. Поэтому приходится прибегать к другим методам решения.
Иногда показать делимость позволяет . Рассмотрим пример.
Пример.
Делится ли на 10 при любом натуральном n ?
Решение.
Число 11
можно представить в виде суммы 10+1
, после чего применить формулу бинома Ньютона:
Очевидно, полученное произведение делится на 10 , так как содержит множитель 10 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n . Следовательно, делится на 10 при любом натуральном n .
Ответ:
Да.
Другим способом доказательства делимости является . Разберем его применение на примере.
Пример.
Докажите, что делится на 10 при любом натуральном n .
Решение.
Воспользуемся методом математической индукции.